موعات

عناصر ، مجموعة منشئ الترميز ، مجموعات متقاطعة ، فين رسم بياني

يعين لمحة عامة

رياضيا ، مجموعة هي مجموعة أو قائمة من الكائنات.

لا تتألف المجموعات فقط من أرقام ، ولكن يمكن أن تحتوي على أي شيء بما في ذلك:

• الطعام في ثلاجتك
• الكواكب في النظام الشمسي.

على الرغم من أن المجموعات يمكن أن تحتوي على أي شيء ، إلا أنها غالبًا ما تشير إلى الأرقام التي تناسب نمطًا معينًا أو ترتبط بطريقة ما مثل:

• مجموعة من الأرقام الموجبة حتى أقل من 10: (0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8) ؛
• مجموعة من العوامل للرقم 12: (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12).

ضبط الترميز

تسمى الكائنات الموجودة في مجموعة العناصر ويتم استخدام الترميز أو الاصطلاحات التالية مع المجموعات:

• تُستخدم الأحرف الكبيرة الأحادية لتحديد مجموعات - مثل J أو E أو F ؛
• تستخدم الأحرف الصغيرة أو الأرقام لعناصر المجموعة ؛
• الأقواس المجعدة {} تشير إلى قائمة العناصر في مجموعة ؛
• يتم استخدام الفواصل لفصل عناصر المجموعة.

لذا ، فإن أمثلة على طريقة التدوين ستكون:

J = {jupiter، saturn، uranus، neptune}

E = {0، 2، 4، 6، 8}؛

F = {1، 2، 3، 4، 6، 12}؛

نظام العنصر والتكرار

لا يجب أن تكون العناصر في أي مجموعة بأي ترتيب معين ، لذا يمكن أيضًا كتابة المجموعة J أعلاه على النحو التالي:

J = {زحل ، جوبيتر ، نبتون ، أورانوس}

أو

J = {neptune، jupiter، uranus، saturn}

لا يؤدي تكرار العناصر إلى تغيير المجموعة سواء ، لذلك:

J = {jupiter، saturn، uranus، neptune}

و

J = {jupiter، saturn، uranus، neptune، jupiter، saturn}

هي نفس المجموعة لأنها تحتوي على أربعة عناصر مختلفة فقط: المشتري ، والزحل ، والأورانوس ، ونبتون.

مجموعات وحواف

إذا كان هناك عدد لانهائي - أو غير محدود - من العناصر في مجموعة ، فسيتم استخدام علامة حذف (...) لإظهار أن نمط المجموعة يستمر إلى الأبد في ذلك الاتجاه.

على سبيل المثال ، تبدأ مجموعة الأرقام الطبيعية عند الصفر ، ولكن لا نهاية لها ، لذلك يمكن كتابتها في النموذج:

{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ... }

مجموعة خاصة أخرى من الأرقام ليس لها نهاية هي مجموعة الأعداد الصحيحة. بما أن الأعداد الصحيحة يمكن أن تكون موجبة أو سلبية ، إلا أن المجموعة تستخدم الحذف في كلا الطرفين لإظهار أن المجموعة تستمر إلى الأبد في كلا الاتجاهين:

{ … ، −3 ، −2 ، −1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ... }

استخدام آخر للحذف هو ملء وسط مجموعة كبيرة مثل:

{0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ... ، 94 ، 96 ، 98 ، 100}

توضح علامة الحذف أن النمط - حتى الأرقام فقط - يستمر من خلال الجزء غير المكتوب من المجموعة.

مجموعات خاصة

يتم تحديد المجموعات الخاصة التي يتم استخدامها بشكل متكرر باستخدام أحرف أو رموز محددة. وتشمل هذه:

• Ø أو {} - المجموعة الفارغة - مجموعة لا تحتوي على عناصر ؛
• U - المجموعة العالمية - مجموعة تحتوي على جميع العناصر المتعلقة بتعريف معين ؛
• Z - مجموعة كل الأعداد الصحيحة: Z = { … ، −3، −2، −1، 0، 1، 2، 3، … }؛
• N - الأعداد الطبيعية (الأعداد الصحيحة الموجبة): N = {0، 1، 2، 3، 4، 5، … }.

القائمة مقابل الطرق الوصفيه

ويشار إلى كتابة أو إدراج عناصر مجموعة ، مثل مجموعة الكواكب الداخلية أو الأرضية في نظامنا الشمسي ، على أنها تدوين قائمة أو طريقة قائمة .

T = {mercury، venus، earth، mars}

هناك خيار آخر لتحديد عناصر مجموعة ما وهو استخدام الطريقة الوصفية ، التي تستخدم عبارة قصيرة أو اسمًا لوصف المجموعة مثل:

T = {الكواكب الأرضية}

تعيين تدوين منشئ

بديل عن القائمة والطرق الوصفية هو استخدام ترميز البناء ، وهو أسلوب مختصر يصف القاعدة التي تتبعها عناصر المجموعة (القاعدة التي تجعلها أعضاء في مجموعة معينة) .

إن ترميز البناء المسبق لمجموعة من الأعداد الطبيعية أكبر من الصفر هو:

{س | x ∈ N، x > 0 }

أو

{x: x ∈ N، x > 0 }

في ترميز البناء ، الحرف "x" هو متغير أو عنصر نائب ، والذي يمكن استبداله بأي حرف آخر.

الشخصيات المختصرة

تتضمن الأحرف المختصرة التي يتم استخدامها مع تدوين مجموعة البناء ما يلي:

• الشريط الرأسي أو النقطتين ( | or :: characters) - هي فواصل مقروءة على هذا النحو ؛
• يتم قراءة الحروف الأبسيلليون الصغيرة (حرف ∈ ) كعنصر؛
• يتم قراءة الحرف as على أنها ليست عنصرًا في.

لذلك ، {س | x ∈ N، x > 0 } سوف تقرأ على النحو التالي:

"مجموعة x كافة ، بحيث x هي عنصر من مجموعة الأرقام الطبيعية و x أكبر من 0."

مجموعات ومخططات فين

يُستعمل مخطط Venn - يُشار إليه أحيانًا باسم رسم تخطيطي محدد - لإظهار العلاقات بين عناصر المجموعات المختلفة.

في الصورة أعلاه ، يوضح الجزء المتداخل من الرسم البياني Venn تقاطع المجموعتين E و F (عناصر مشتركة لكلتا المجموعتين).

فيما يلي قائمة بعلامة إنشاء البادئة للعملية (يقصد بالمقلوب "U" تقاطع):

E ∩ F = {x | x ∈ E ، x ∈ F}

تمثل الحدود المستطيلة والحرف U في زاوية مخطط Venn المجموعة الشاملة لجميع العناصر قيد النظر لهذه العملية:

U = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12}